Matemática hindu

Contexto Histórico


Escavações arqueológicas ocorridas em Mohenjo Daro nos dão uma indicação de uma civilização muito antiga e de uma cultura muito alta na Índia, ocorrida na mesma época em que eram construídas as pirâmides no Egito. Posteriormente o país foi ocupado pelos invasores arianos que impuseram o sistema de castas, o qual trouxe um atraso muito grande ao desenvolvimento. Estes invasores arianos desenvolveram na índia a literatura sânscrita. Na mesma época em que Pitágoras começou a desenvolver seus teoremas e axiomas na Grécia, Buda agia na Índia. Especula-se que Pitágoras esteve em contato com Buda e que desenvolveu seu mais famoso teorema com os hindus.
Os indianos dos primeiros tempos foram exterminados por volta de 1500 ac. Este país tinha como política, vários pequenos principados desunidos, o que propiciou muitas invasões em seu território (arianas, persas, gregas, árabes e ingleses). Estes invasores se estabeleceram como classe dominante, evitando a miscigenação com o povo nativo.
Entre 3000 ac e 1500 ac viveu na índia um povo, da região do rio Indo, que cultivava a agricultura e morava em cidades. Este povo foi destruído pelos arianos. Entre 1500 ac e 500 ac os arianos desenvolveram o hinduismo, combinação de religião, filosofia e estrutura social, a qual veio a desenvolver a base de sua civilização. O hinduismo é um conjunto de crenças e leis que se baseia em três idéias principais: culto a um grande número de deuses, transmigração da alma e o sistema de castas que dividia rigidamente a sociedade indiana em quatro classes: Brahmana (sacerdotes), kshatriya (guerreiros), vaisya (comerciantes e artesãos) e sudra (camponeses).


Contexto Matemático 


A matemática hindu apresenta mais problemas históricos do que a grega, pois os matemáticos indianos raramente se referiam a seus predecessores e exibiam surpreendente independência em seu trabalho matemático.
A Índia, assim como o Egito, tinha seus “esticadores de corda”. As primitivas noções geométricas tomaram corpo no escrito conhecido como “Sulvasutras” (regras de cordas). Este escrito tem três versões, sendo que a mais conhecida tem o nome de Apastamba. Nesta primeira versão, da mesma época de Pitágoras, são encontradas regras para construção de ângulos retos por meio de ternas de cordas cujos comprimentos formam tríadas pitagóricas. Este escrito, provavelmente, sofreu influência babilônica, visto que estas tríadas encontram-se nas tábuas cuneiformes. A origem e a data dos Sulvasutras são incertos, de modo que não é possível relacioná-los com a primitiva agrimensura egípcia ou com o problema grego de duplicar um altar.
Após esta publicação, surgiram os “Siddhantas” (sistemas de astronomia). O começo da dinastia Gupta (290) assinalou um renascimento da cultura sânscrita e estes escritos podem ter sido um produto disto. A trigonometria de Ptolomeu se baseava na relação funcional entre as cordas de um círculo e os ângulos centrais que subentendem. Para os autores dos Siddhantas, a relação ocorre entre metade de uma corda de um círculo e metade do ângulo subentendido no centro pela corda toda.

A Índia teve muitos matemáticos que fizeram grandes contribuições. Entre eles podemos destacar:


Aryabhata

Publicou, em 499, uma obra intitulada “Aryabhatiya”. Esta publicação é um pequeno volume sobre astronomia e matemática, semelhante aos “Elementos” de Euclides, porém de oito séculos antes. São compilações de resultados anteriores. Esta obra contém: nome das potências de dez, até a décima; regras de mensuração (muitas erradas); área do triângulo; volume da pirâmide (incorreto); área do círculo; volume da esfera (incorreto) e áreas de quadriláteros (algumas incorretas). Também encontramos cálculos com a medida do tempo e trigonometria esférica.

Brahmagupta

 Viveu na Índia central pouco mais de cem anos depois de Aryabhata. Tem pouco em comum com seu predecessor que vivia no leste da Índia. Seu trabalho mais importante foi a generalização da fórmula de Heron para achar a área de qualquer quadrilátero. Também trabalhou na solução de equações quadráticas com raízes negativas.

Bhaskara

Considerado o mais importante matemático do século doze (1114 – 1185). Ele preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho “Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito. Sua outra obra, “Lilavati”, apresenta tópicos sobre equações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras. Sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores.

Ramanujan

Após Bhaskara, a Índia passou vários séculos sem matemáticos de importância comparável. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) é considerado o gênio hindu, em aritmética e álgebra, do século vinte.
A introdução de uma notação para uma posição vazia, o símbolo para o zero, foi o segundo passo para o nosso moderno sistema de numeração. Não se sabe se o número zero (diferente do símbolo para a posição vazia) surgiu junto com os nove numerais hindus. É bem possível que o zero seja originário do mundo Grego, talvez de Alexandria. Possivelmente foi transmitido à Índia depois que o sistema posicional já estava estabelecido lá. É interessante observar que os Maias do Yucatán (México), anterior à Colombo, usavam notação posicional, com notação para a “posição vazia”. Com a introdução, na notação hindu, do décimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o nosso moderno sistema de numeração para os inteiros estava completo.


A nova numeração, geralmente chamada de hindu-arábica, é uma nova combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga:


i) base decimal
ii) notação posicional
iii) forma cifrada para cada um dos dez numerais


Nenhum destes de se deveu, originalmente, aos hindus, mas foi devido a eles que os três foram ligados pela primeira vez para formar o nosso sistema de numeração.
Outra contribuição importante dos hindus foi a introdução de um equivalente da função seno na trigonometria para substituir a tabela de cordas dos gregos. A trigonometria hindu era um instrumento útil e preciso para a astronomia.

Aplicações matemáticas

Vários documentos arqueológicos indicam que os algarismos (de Al Khwarism) é indo – arábico, ou seja, teve sua origem no Norte da Índia cerca de 500 d.C. e foi levada pelos árabes durante sua invasão e expansão por toda Europa.

Os antigos hindus já usavam uma forma de algarismos semelhante desde cerca de 300 a.C. Esta numeração já tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:

  

o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.

Ainda existia naquela época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não conseguiam exprimir grandes números por algarismos.

Cada algarismo tinha um nome:

Contrariamente à nossa numeração oral atual, (em que os números 10 000, 100 000, 10 000 000, por exemplo são denominados, respectivamente, dez mil, cem mil e dez milhões em que os nomes do milhar e do milhão desempenham o papel das bases auxiliares), o sistema falado pelos sábios hindus não privilegiavam nenhum número. Ele atribuía às diferentes potências de dez nomes independentes uns dos outros:

10            = dasa

100           = sata

1.000         = sahasra

10.000        = ayuta

100.000       = laksa

1.000.000     = prayuta

10.000.000    = koti

100.000.000   = vyarbuda

1.000.000.000 = padma

Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV d.C. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 4602 era representado por:

Poderíamos escrever o número 12.345 como

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:

5      = pañca

40     = catur dasa

300    = tri sata

2.000  = dvi sahasra

10.000 = ayuta

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

Esta já era uma forma especial.

Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V d.C, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000

E esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época.

Porém começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321.

O número 321 é facilmente representado por:

“Um. Dois. Três”

321 = dasa dvi tri

321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100

Mas há, por outro lado, uma grande dificuldade para exprimir um número como 301, onde falta um decimal. Não basta dizer:

 “Um. Três”  que corresponde a 31. O que não é 301. Há uma lacuna. È necessário uma palavra que signifique que não há dezena. Quando se aplica rigorosamente o princípio de posição aos nomes das nove unidades simples, faz-se necessário o uso de um vocábulo especial para marcar a ausência das unidades. Os sábios criaram a palavra “sunia”, que significa vazio, logo 301 passa a ser escrito como:

“Eka. Sunia. Tri”

“Um. Vazio. Três”

Assim, não há mais equívocos. Depois dos babilônios e à mesma época que os maias, os hindus  inventaram o zero. A partir desse momento todos os aspectos convergiram para a consolidação do sistema numérico que conhecemos hoje. Os sábios hindus dispunham agora de unidades distintas de 1 a 9, já conheciam o princípio da posição, e acabavam de inventar o zero.

O documento mais velho dos hindus foi escrito por Aricabata em meados de 500 a.C, e era chamado  Suriasidanta. Esse é tido como primeiro estudo trigonométrico na Índia, nele Ariabata calculava o seno (chamado de jivas) dos ângulos pertencentes ao primeiro quadrante de um circulo o qual o raio era de 3.438, que dividia-se em 21.600 graus, ( ou seja os hindus subdividiam os graus gregos em 60 partes).

Para calcular os senos que eram superior a 30^o (1.800^o)  Ariabata utilizara o mesmo processo que Ptolomeu, mas para os ângulos menores que 30⁰ que ele dizia “numericamente igual à quantidade de partes em que foi dividida a circunferência”.

                                                             lim sen x _{x -- 0} =  x 

                                                        primeiro limite fundamental

Ariabata, também  representa  no Suriasiadanta, o valor de pi como sendo 124.764 dividido por 40.000, (3,119).

Divisão e Multiplicação

Em 620  Brahmagupta escreve o Sidhanta ( “calculo” escrito em couro),   o principal achado desse trabalho são os algoritmos da multiplicação e da divisão, ( que segundo ele os indus aviam descobertos desde 100 a 200 d.C).

            Divisão exemplo

Processo multiplicativo 

       

 

Esse processo de multiplicação consta de se multiplicar cada algarismo, depois soma-se as diagonais:  21 x 14 = 294

Brahmagupta também discorre sobre uma regra de construção das tríades pitagóricas:

“...é fácil, oh querido aluno, encontrar os números que satisfazem o triangulo  divino ( retângulo). Basta seguir as instruções do seu venerado mestre: pegue um dos números 2,3,4, 5, etc. E multiplique por 2, em seguida, subtraia 1. Teremos o primeiro lado. Para o segundo faça...”.

vejamos como uma representação:

Pesquisa apresentada pelos discentes da FAINTVISA, durante vivencia da Disciplina História da Matemática (Licenciatura em Matemática): Adonias Kadús de Sousa, Adriana Maria de santana e Sandra Alves de Carvalho.